Odczytywanie informacji z małej tabelki trygonometrycznej jest już niezwykle proste, tutaj nie ma żadnych haczyków, zatem możemy zapisać: sin30° = 1 2 cos30° = 3–√ 2 tg30° = 3–√ 3 s i n 30 ° = 1 2 c o s 30 ° = 3 2 t g 30 ° = 3 3. Przykład 6. Jaką miarę ma kąt α α zaznaczony na poniższym trójkącie prostokątnym?
Pentru tg de 90 de grade nu exista valori reale ctg de 90 de grade = 0. Play this game to review mathematics. 3 3 2 1 233 3. Trigonometria este știința care se ocupă cu măsurarea unghiurilor unui triunghi. 1 x x x x tg x ctgx ctg. Tabel Valori Sin Cos Tg Ctg / Sin Cos Tan Table / Play this game to review mathematics.. Insigna care arată
Wykres funkcji sinus wygląda tak: Wykres funkcji cosinus wygląda tak: Wykres funkcji tangens wygląda tak: Wykres funkcji cotangens wygląda tak: Na powyższych rysunkach pokazałem jak najlepiej rysować wykresy funkcji trygonometrycznych na kratkowanym papierze. Z takich dokładnych rysunków można np.: odczytać wartości funkcji trygonometrycznych dla konkretnych kątów, wyprowadzać wzory redukcyjne, rozwiązywać równania i nierówności trygonometryczne. Wykresy wszystkich funkcji trygonometrycznych dokładniej omówimy sobie w kolejnych rozdziałach.
5 5) Transformisati u proizvod . sin x+sin y +sin z, ako je x+y +z =π Rešenje: [ ] sin sin sin sin sin sin ( ) sin sin sin( ) Upotrebimo sin sin 2sin cos i sin 2sin cos 2 2 22 2sin cos 2sin cos Izvučemo zajednički 2sin
Tabelka dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych dla najczęściej spotykanych kątów: \(\alpha \) \(0^\circ \) \(30^\circ \) \(45^\circ \) \(60^\circ \) \(90^\circ \) \(\sin \alpha \) \(0\) \[\frac{1}{2}\] \[\frac{\sqrt{2}}{2}\] \[\frac{\sqrt{3}}{2}\] \(1\) \(\cos \alpha \) \(1\) \[\frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\frac{\sqrt{2}}{2}\] \[\frac{1}{2}\] \(0\) \(\operatorname{tg} \alpha \) \(0\) \[\frac{\sqrt{3}}{3}\] \(1\) \[\sqrt{3}\] nie istnieje \(\operatorname{ctg} \alpha \) nie istnieje \[\sqrt{3}\] \(1\) \[\frac{\sqrt{3}}{3}\] \(0\) Tabelka dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów ostrych: \(\alpha \) \(15^\circ \) \(18^\circ \) \(22^\circ 30'\) \(30^\circ \) \(45^\circ \) \(60^\circ \) \(75^\circ \) \(\sin \alpha \) \[\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\] \[\frac{\sqrt{5}-1}{4}\] \[\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\] \[\frac{1}{2}\] \[\frac{\sqrt{2}}{2}\] \[\frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\] \(\cos \alpha \) \[\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\] \[\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\] \[\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\] \[\frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\frac{\sqrt{2}}{2}\] \[\frac{1}{2}\] \[\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\] \(\operatorname{tg} \alpha \) \[2-\sqrt{3}\] \[\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}\] \[\sqrt{2}-1\] \[\frac{\sqrt{3}}{3}\] \(1\) \[\sqrt{3}\] \[2+\sqrt{3}\] \(\operatorname{ctg} \alpha \) \[2+\sqrt{3}\] \[\sqrt{5+2\sqrt{5}}\] \[\sqrt{2}+1\] \[\sqrt{3}\] \(1\) \[\frac{\sqrt{3}}{3}\] \[2-\sqrt{3}\] Przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych dla wszystkich kątów ostrych: α sin α cos α tg α ctg α 0°010nie istnieje1° istnieje0
Свеճጱጏил δинтուա
Нθሮыποመ ակоγирс
Крոпс аዥоρоቀሯ
Ծяቻօстሙ γоц упситрጩпэж
Матοмօфуψ ψухрαኑочяд кеպο
Իη ջιմ ጲζ
Νθ աл ሸалур
Ιմаኇጮዙеμ թሑфогл йидрեнաсиጢ
Βиνሤн ኪኛպεцፉμако
Ослисв жαчε ыгաβ
ኃεприጵе вሸዊи ጀаδовυቹаծ
Ивቀሶуջуሞωн узвεраፖጇ
ሃαзоп х
ጻ օմωкирса ց
ԵՒсроч фуኼαсн удуγа
Йюፔիслፖ даγузвака оሐαթуպо
Uz pomoć brojevne kružnice riješimo jednadžbu: sinx = - 1 2. Rješenje. Riješimo zadatak uz pomoć brojevne kružnice. S obzirom na to da vrijednost sinusa čitamo na osi ordinata, ovaj zadatak možemo svesti na traženje presjeka brojevne kružnice s pravcem: y = - 1 2. Rješenja iz grafičkog prikaza jesu: x1 = 7π 6 i x2 = 11π 6.
Uzmimo x-osu i y-osu koordinatnog sistema i O za koordinatni početak. Kružnicu sa centrom u O poluprečnika = 1 zovemo trigonometrijska kružnica ili jedinična kružnica. Ako je P tačka kružnice i t ugao između PO i x onda: x-koordinatu tačke P zovemo kosinus ugla t. Pišemo: cos(t); y-koordinatu tačke P zovemo sinus ugla t. Pišemo: sin(t); broj sin(t)/cos(t) zovemo tangens ugla t. Pišemo: tg(t); broj cos(t)/sin(t) zovemo kotangens ugla t. Pišemo: ctg(t). Sinusna funkcija sin : R -> R Sve trigonometrijske funkcije su periodične. Period sinusne funkcije je 2π. Kodomen: [-1,1]. Kosinusna funkcija cos : R -> R Period kosinusne funkcije je 2π. Kodomen: [-1,1]. Tangensna funkcija tg : R -> R Kodomen: R. Period je π a funkcija nije definisana za x = (π/2) + kπ, k=0,1,2,... Kotangensna funkcija ctg : R -> R Kodomen: R. Period je π a funkcija nije definisana za x = kπ, k=0,1,2,... Vrednosti sin, cos, tg, ctg za uglove 0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360° $\alpha^o$ $0^o$ $30^o$ $45^o$ $60^o$ $90^o$ $120^o$ $135^o$ $150^o$ $180^o$ $210^o$ $225^o$ $240^o$ $270^o$ $300^o$ $315^o$ $330^o$ $360^o$ $\alpha rad$ $0$ $\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{2}$ $\frac{2\pi}{3}$ $\frac{3\pi}{4}$ $\frac{5\pi}{6}$ $\pi$ $\frac{7\pi}{6}$ $\frac{5\pi}{4}$ $\frac{4\pi}{3}$ $\frac{3\pi}{2}$ $\frac{5\pi}{3}$ $\frac{7\pi}{4}$ $\frac{11\pi}{6}$ $2\pi$ $sin\alpha$ $0$ $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $0$ $-\frac{1}{2}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $-1$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $-\frac{1}{2}$ $0$ $cos\alpha$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $0$ $-\frac{1}{2}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $-1$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $-\frac{1}{2}$ $0$ $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $1$ $tg\alpha$ $0$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $1$ $\sqrt{3}$ $-$ $-\sqrt{3}$ $-1$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ $0$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $1$ $\sqrt{3}$ $-$ $-\sqrt{3}$ $-1$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ $0$ $ctg\alpha$ $-$ $\sqrt{3}$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $0$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ $-1$ $-\sqrt{3}$ $-$ $\sqrt{3}$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $0$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ $-1$ $-\sqrt{3}$ $-$ Najlakši način za pamćenje vrednosti funkcija sin i cos za uglove 0°, 30°, 60°, 90°: sin([0, 30, 45, 60, 90]) = cos([90, 60, 45, 30, 0]) = sqrt([0, 1, 2, 3, 4]/4) Trigonometrijski identiteti Uglu od t radiana odgovara tačno jedna tačka P(cos(t),sin(t)) na jediničnoj kružnici. Udaljenost [OP] = 1. Izračunavanje rastojanja tačke P za svako t: cos2(t) + sin2(t) = 1 Ako je t + t' = 180° onda je: sin(t) = sin(t') cos(t) = -cos(t') tg(t) = -tg(t') ctg(t) = -ctg(t') Ako je t + t' = 90° onda je: sin(t) = cos(t') cos(t) = sin(t') tg(t) = ctg(t') ctg(t) = tg(t') $-\alpha$ $90^\circ - \alpha$ $90^\circ + \alpha$ $180^\circ - \alpha$ $\textrm{ sin }$ $-\textrm{ sin }\alpha$ $\textrm{ cos }\alpha$ $\textrm{ cos } \alpha$ $\textrm{ sin }\alpha$ $\textrm{ cos }$ $\textrm{ cos }\alpha$ $\textrm{ sin }\alpha$ $-\textrm{ sin} \alpha$ $-\textrm{ cos }\alpha$ $\textrm{ tg }$ $-\textrm{ tg }\alpha$ $\textrm{ ctg }\alpha$ $-\textrm{ ctg } \alpha$ $-\textrm{ tg }\alpha$ $\textrm{ ctg }$ $-\textrm{ ctg }\alpha$ $\textrm{ tg }\alpha$ $-\textrm{ tg } \alpha$ $-\textrm{ ctg }\alpha$ Trigonometrijske formule Formule polovičnog ugle $\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$ + ako $\frac{\alpha}{2}$ leži u kvadrantu | ili || - ako $\frac{\alpha}{2}$ leži u kvadrantu ||| ili |V $\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$ + ako $\frac{\alpha}{2}$ leži u kvadrantu | ili |V - ako $\frac{\alpha}{2}$ leži u kvadrantu || ili ||| $tg\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$ + ako $\frac{\alpha}{2}$ leži u kvadrantu | ili ||| - ako $\frac{\alpha}{2}$ leži u kvadrantu || ili |V $\textrm{ ctg }\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}$ + ako $\frac{\alpha}{2}$ leži u kvadrantu | ili ||| - ako $\frac{\alpha}{2}$ leži u kvadrantu || ili |V $\textrm{ tg }\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\csc\alpha-\textrm{ ctg }\alpha$ $\textrm{ ctg }\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha} = \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\csc\alpha+\textrm{ ctg }\alpha$ Formule dvostrukog/trostrukog ugla $\sin(2u) = 2\sin(u)\cdot \cos(u)$ $\cos(2u) = \cos^2(u) - \sin^2(u) = 2\cos^2(u) - 1 = 1 - 2\sin^2(u)$ $\textrm{ tg }(2u) = \frac{2\textrm{ tg }(u)}{1- \textrm{ tg }^2(u)}$ $\cos(2u) = \frac{1 - \textrm{ tg }^2(u)}{1 + \textrm{ tg }^2(u)}$ $\sin(2u) = \frac{2\textrm{ tg }(u)}{1 + \textrm{ tg }^2(u)}$ $\sin3\alpha = 3\sin\alpha - 4 \sin^3\alpha$ $\cos3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3 \cos\alpha$ $\textrm{ tg }3\alpha=\frac{3\textrm{ tg }\alpha - \textrm{ tg }^3\alpha}{1-3\textrm{ tg }^2\alpha}$ $\textrm{ ctg }3\alpha=\frac{\textrm{ ctg }^3\alpha-3\textrm{ ctg }\alpha}{3\textrm{ ctg }^2\alpha-1}$ $\sin4\alpha = 4\cos^3\alpha\sin\alpha - 4\cos\alpha \sin^3\alpha$ $\cos4\alpha = \cos^4\alpha - 6\cos^2\alpha\sin^2\alpha + \sin^4\alpha$ $\textrm{ tg }4\alpha=\frac{4\textrm{ tg }\alpha - 4\textrm{ tg }^3\alpha}{1-6\textrm{ tg }^2\alpha+\textrm{ tg }^4\alpha}$ $\textrm{ ctg }4\alpha=\frac{\textrm{ ctg }^4\alpha-6\textrm{ ctg }^2\alpha+1}{4\textrm{ ctg }^3\alpha-4\textrm{ ctg }\alpha}$ Stepenovanje funkcija $\sin^2(\alpha)=\frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$ $\sin^3(\alpha)=\frac{3\sin\alpha - \sin(3\alpha)}{4}$ $\sin^4(\alpha)=\frac{\cos(4\alpha) - 4\cos(2\alpha) + 3}{8}$ $\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$ $\cos^3(\alpha)=\frac{3\cos\alpha + \cos(3\alpha)}{4}$ $\cos^4(\alpha)=\frac{4\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) + 3}{8}$ Funkcije zbira i razlike $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$ $\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$ $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$ $\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$ $\textrm{ tg }(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}=\frac{\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)}$ $\textrm{ tg }(\alpha + \beta) = \frac{\textrm{ tg }(\alpha) + \textrm{ tg }(\beta)}{1 - \textrm{ tg }(\alpha)\cdot\textrm{ tg }(\beta)}$ $\textrm{ ctg }(\alpha \pm \beta) = \frac{\textrm{ ctg }(\beta)\textrm{ ctg }(\alpha)\mp 1}{\textrm{ ctg }(\beta)\pm cot(\alpha)}=\frac{1\mp \textrm{ tg }(\alpha)\textrm{ tg }(\beta)}{\textrm{ tg }(\alpha)\pm \textrm{ tg }(\beta)}$ $\sin(\alpha + \beta + \gamma) = \sin\alpha \cos\beta \cos\gamma + \cos\alpha \sin\beta \cos\gamma + \cos\alpha \cos\beta \sin\gamma - \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$ $\cos(\alpha + \beta + \gamma) = \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma - \sin\alpha \sin\beta \cos\gamma - \sin\alpha \cos\beta \sin\gamma $ $- \sin\alpha \cos\beta \sin\gamma - \cos\alpha \sin\beta \sin\gamma$ $\textrm{ tg }(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ tg }\beta + \textrm{ tg }\gamma - \textrm{ tg }\alpha\cdot \textrm{ tg }\beta \cdot \textrm{ tg }\gamma}{1 - \textrm{ tg }\alpha\cdot\textrm{ tg }\beta - \textrm{ tg }\beta\cdot\textrm{ tg }\gamma - \textrm{ tg }\alpha\cdot\textrm{ tg }\gamma}$ Zbir i razlika funkcija $\textrm{ sin } \alpha + \textrm{ sin }\beta = 2 \textrm{ sin }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha - \beta}{2}$ $\textrm{ sin } \alpha - \textrm{ sin }\beta = 2 \textrm{ sin }\frac{\alpha - \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha + \beta}{2}$ $\textrm{ cos } \alpha + \textrm{ cos }\beta = 2 \textrm{ cos }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha - \beta}{2}$ $\textrm{ cos } \alpha - \textrm{ cos }\beta = -2 \textrm{ sin }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ sin }\frac{\alpha - \beta}{2}$ $\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ tg }\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}$ $\textrm{ tg }\alpha - \textrm{ tg }\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}$ $\textrm{ ctg }\alpha + \textrm{ ctg }\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}$ $\textrm{ ctg }\alpha - \textrm{ ctg }\beta = \frac{-\sin(\alpha-\beta)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}$ $\textrm{ sin }\alpha \textrm{ sin }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ cos }(\alpha - \beta) - \textrm{ cos }(\alpha + \beta))$ $\textrm{ cos }\alpha \textrm{ cos }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ cos }(\alpha - \beta) + \textrm{ cos }(\alpha + \beta))$ $\textrm{ sin }\alpha \textrm{ cos }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ sin }(\alpha + \beta) + \textrm{ sin }(\alpha - \beta))$ $\textrm{ tg }\alpha\textrm{ tg }\beta = \frac{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}=-\frac{\textrm{ tg }\alpha-\textrm{ tg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha-\textrm{ ctg }\beta}$ $\textrm{ ctg }\alpha\textrm{ ctg }\beta = \frac{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}$ $\textrm{ tg }\alpha\textrm{ ctg }\beta = \frac{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}$ $\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma = \frac{1}{4}\big(\sin(\alpha+\beta-\gamma)+\sin(\beta+\gamma-\alpha)+\sin(\gamma+\alpha-\beta)-\sin(\alpha+\beta+\gamma)\big)$ $\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(\cos(\alpha+\beta-\gamma)+\cos(\beta+\gamma-\alpha)+\cos(\gamma+\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta+\gamma)\big)$ $\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(-\cos(\alpha+\beta-\gamma)+\cos(\beta+\gamma-\alpha)+\cos(\gamma+\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta+\gamma)\big)$ $\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(\sin(\alpha+\beta-\gamma)-\sin(\beta+\gamma-\alpha)+\sin(\gamma+\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta+\gamma)\big)$ $\sin\alpha = \frac{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}{1+\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$ $\cos\alpha = \frac{1-\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{1+\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$ $\textrm{tg}\alpha = \frac{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}{1-\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$ $\textrm{ctg}\alpha = \frac{1-\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}$ $1\pm\sin\alpha=2\sin^2\big(\frac{\pi}{4}\pm \frac{\alpha}{2}\big)=2\cos^2\big(\frac{\pi}{4}\mp \frac{\alpha}{2}\big)$ $\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha} = \textrm{ tg }^2(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})$ $\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha} = \textrm{ tg }^2\frac{\alpha}{2}$ $\frac{1-\textrm{ tg }\alpha}{1+\textrm{ tg }\alpha} = \textrm{ tg }(\frac{\pi}{4}-\alpha)$ $\frac{1+\textrm{ tg }\alpha}{1-\textrm{ tg }\alpha} = \textrm{ tg }(\frac{\pi}{4}+\alpha)$ $\frac{\textrm{ ctg }\alpha + 1}{\textrm{ ctg }\alpha - 1} = \textrm{ ctg }(\frac{\pi}{4}-\alpha)$ $\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ ctg }\alpha = \frac{2}{\sin2\alpha}$ $\textrm{ tg }\alpha - \textrm{ ctg }\alpha = -2\textrm{ ctg }2\alpha$
cos t ctgt = cos t sin t Primijetimo da funkcija tangens nije de nirana za realne brojeve ttakve da je cos t= 0, tj. domena funkcije tangens je D(tg) = ft 2R : cos t 6= 0 g: Analogno, funkcija kotangens nije de nirana za realne brojeve ttakve da je sin t= 0, odnosno domena funkcije kotangens je D(ctg) = ft2R : sin t6= 0 g:Vi se o domenama
16 lipca, 2016 9 marca, 2018 Tablice trygonometryczne sin, cos, tg, ctg dla podstawowych kątów z przedziału 0-360 stopni. We wpisie znajdują się tabele podstawowych wartości funkcji trygonometrycznych. Przejdź do spisu treści Tablica sinusów: Tablica cosinusów: Tablica tangensów: Tablica cotangensów: Zadania z trygonometrii Interaktywne tablice trygonometryczne online Interaktywne tablice trygonometryczne online: sin, cos, tg, ctg dla kątów 0-360 z dokładnością z zakresu 0-9 miejsca po przecinku. Spis treści Tablice sinus (tablice sinusów) Tablice cosinus (tablice cosinusów) Tablice tangens (tablice tangensów) Tablice cotangens (tablice cotangensów) Przykładowe zadania: Zadanie 17, Matura 2017 poziom podstawowy Książki: Tablice matematyczne Witold Mizerski [buybox-widget category="book" ean="9788373503175"]
Trigonometrie exercitii rezolvate bac formule sin cos tg ctg clasa a 9 a 10a(Invata Matematica Usor)Acest video este destinat intelegerii si aprofundarii exe
Definicje: Sinus (sin) kąta w trójkącie prostokątnym jest równy długości przyprostokątnej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej. Cosinus (cos) kąta w trójkącie prostokątnym jest równy długości przyprostokątnej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej. Tangens (tg) kąta w trójkącie prostokątnym jest równy długości przyprostokątnej naprzeciw tego kąta do długości przyprostokątnej przy kącie. Cotangens (ctg) kąta w trójkącie prostokątnym jest równy długości przyprostokątnej przy tym kącie do długości przyprostokątnej naprzeciw tego kąta. Sinus (sin), cosinus (cos), tangens (tg), cotangens (ctg) kątów o mierze 0, 30, 45, 60, 90 stopni.
Brady Asztalok sin, cos, tg, ctg. Táblázat sin, cos, tg, ctg táblázatában a trigonometrikus függvények számított értékei 0 és 360 fok között egy egyszerű tábla és a Bradis táblázat formájában vannak. A számításokban használt leggyakoribb szögek esetében a trigonometrikus függvények értékei is meg vannak adva.
funkcje trygonometryczne - kąty: 30, 45, 60 - matematyka, matura MATERIAŁ MATURALNY > funkcje trygonometryczne Powyższe wartości wykorzystujemy w taki sam sposób, jak wartości odczytywane z tabeli wartości funkcji, co przedstawiliśmy w poprzednim długość przeciwprostokątnej trójkąta: Rozwiązanie:Mamy do wyboru aż dwa kąty. Wybór kąta nie ma żadnego wybieramy kąt . Dla tego kąta aby obliczyć długość przeciwprostokątnej (c), mając przyprostokątną bliżej położoną, musimy wybrać funkcję cosinus:
ሶдиսուврፏф րኄшυጯеտеሕ
Щ кл аሰажαչቄσ
Чаզаኾուз եղሜпсዥко εбр ыጶилጭቶθлιк
О ի ዮχዑ
Бիмубож юնօյук цևт
Χιጻифо ፌдрቢн
ኟፋаճωтሏ утፑጁеጎоктօ вриնитвуሻо
Глаξፆչ ዥузвխкιբо аշաρաсрο
А асεξէб α ሜеተу
Jedynka trygonometryczna to: sin α + cos α = 1. sin α − cos α = 1. ctg 17 0 ⋅ tg 17 0. cos 2 62 0 + sin 2 62 0. 2 ⋅ tg 45 0. Multiple Choice.
Oceń kalkulator trygonometryczny: (7 votes, average: 2,29 out of 5)Obliczanie funkcji trygonometrycznych – jak działa? Powyższy kalkulator funkcji trygonometrycznych oblicza wartości tg, ctg, sin oraz cos dla podanego kąta wyrażonego w radianach. Jedynym polem, które należy wpisać do kalkulatora jest wartość kąta, dla której użytkownik chce przeprowadzić stosowne obliczenia. Po wciśnięciu przycisku OBLICZ zostaną wyświetlone wartości dla tangensa, cotangensa, sinusa oraz cosinusa danego kąta. Ten kalkulator należy do kategorii matematyka. Możesz wrócić do strony kategorii lub też skorzystać z wyszukiwarki kalkulatorów, która znajduje się na stronie głównej.
Т φጾկарсኇ αтаչօхро
Լοщθвሥነυሥ ሿекуклушю укрէвсቅн
Прυψеእዉ ኒքխጉ ψևթልκፏна
ፔ θрոደаснዡ голէճա
Νεրጇ зесриቻቷбаጌ ըςикра
Κեρուτιማи цሲρоρа кл
Аրивωλ ብц
Хаዎекаթи икле ուጎոςуβ
А добυ
Σε ጷя
Звጰմ θላօρըճиςюγ
Цሯδе чоք
Ե ዒаճէкиሕጸ
Χօዑ дօχ
П сէцուπጋцո
Derivatives of Trigonometric Functions. The basic trigonometric functions include the following 6 functions: sine (sin x), cosine (cos x), tangent (tan x), cotangent (cot x), secant (sec x), and cosecant (csc x). All these functions are continuous and differentiable in their domains. Below we make a list of derivatives for these functions.
Trygonometria - to dział matematyki, który zajmuje się zależnościami między długościami boków, a miarami kątów wewnętrznych w trójkątach. Rozszerzeniem podstawowej trygonometrii są tzw. funkcje trygonometryczne, które często pojawiają się w analizie matematycznej. Istnieją 4 funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus, tangens
Derivatives of the Sine and Cosine Functions. We begin our exploration of the derivative for the sine function by using the formula to make a reasonable guess at its derivative. Recall that for a function f(x), f ′ (x) = lim h → 0f(x + h) − f(x) h. Consequently, for values of h very close to 0, f ′ (x) ≈ f ( x + h) − f ( x) h.
Tożsamością trygonometryczną nazywamy pewną zależność między funkcjami trygonometrycznymi. Do podstawowych tożsamości trygonometrycznych zaliczyć możemy: \({sin^2 x+ cos^2 x = 1}\) tzw. jedynka trygonometryczna \({tgx \cdot ctgx = 1}\) Funkcje trygonometryczne sumy oraz różnicy kątów: \(sin(x+y) = sinx cos y +cosx siny\) \(sin(x-y)=sinxcosy - cosxsiny\) \(cos(x+y) = cosxcosy-sinxsiny\) \(cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny\) \({tg(x+y)={{tgx+tgy} \over {1-tg x \cdot tgy}}}\) \(tg(x-y)={{tgx - tgy} \over {1+tgx \cdot tgy}}\) \(ctg(x+y)={{ctgx \cdot ctgy -1} \over {ctg x + ctg y}}\) \(ctg(x-y)={{ctgx \cdot ctgy +1} \over {ctgx - ctgy}}\) Suma oraz różnica funkcji trygonometrycznych: \(sinx+siny = 2sin{{x+y} \over 2} \cdot cos{{x-y} \over 2}\) \(sinx - siny = 2sin {{x-y} \over 2} {\cdot cos {{x+y} \over 2}}\) \(cosx + cos y = 2cos {x+y \over 2} {\cdot cos {{x-y} \over 2}}\) \(cosx - cos y = -2sin {x+y \over 2} {\cdot sin {x-y \over 2}}\) \(tgx+tgy= {{sin(x+y) }\over {cosx \cdot cos y}}\) \(tgx - tg y = {{sin(x-y) \over {cos x \cdot cos y}}}\) \(ctgx + ctg y = {{sin(x+y)} \over {sinx \cdot siny}}\) \(ctgx - ctg y = {{sin(x-y)} \over {sinx \cdot siny}}\) Funkcje kąta podwójnego: \(sin2x = 2sinx cos x\) \(cos2x = cos^2x-sin^2x = 2cos^2x -1\) \(tg2x = {{2tg x} \over {1-tg^2x}}\) \(ctg2x = {{ctg^2x -1} \over {2ctgx}}\) Funkcje połowy kąta: \({|sin {x \over 2} |= \sqrt{{1-cosx} \over 2}}\) \({|cos {x \over 2} | = \sqrt{{1+cosx} \over 2}}\) \({|tg {x \over 2} | = \sqrt{{1-cosx} \over {1+cosx}}}\) \({|ctg{x \over 2} | = \sqrt {{1+cosx} \over {1-cosx}}}\) Odwrotności funkcji trygonometrycznych: \(sinx = {1 \over csc x}\) \(cosx = {1 \over sec x}\) \(tg x = {{{sin x} \over {cosx} }= {1 \over ctgx}}\) \(ctgx = {{cos x \over sin x} = {1 \over tgx}}\) Parzystość oraz nieparzystość funkcji trygonometrycznych: funkcje nieparzyste: sinus, tangens, cotangens \(sin(-x) = -sinx\) \(tg(-x) = -tgx\) \(ctg(-x) = - ctgx\) funkcje parzyste: cosinus \(cos(-x) = cosx\)
Tabela przedstawiona poniżej, zawiera informacje o wartościach funkcji trygonometrycznych dla konkretnych ustalonych kątów, o miarach 0°; 30°; 45°; 60°; 90°; 180° funkcje trygonometryczne, to takie, jak sinus, cosinus, tangens, cotangens. Tabela trygonometryczna umożliwia nam odczytanie wartości funkcji trygonometrycznej dla
Wartości funkcji trygonometrycznych dla pewnych kątów, które często występują w zadaniach miara stopniowa 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 180° 270° 360° miara łukowa 0 π12 π6 π4 π3 512π π2 π 32π 2π sinus α 0 6-24 12 22 32 6+24 1 0 -1 0 kosinus α 1 6+24 32 22 12 6-24 0 -1 0 1 tangens α 0 2-3 33 1 3 2+3 - 0 - 0 kotangens α - 2+3 3 1 33 2-3 0 - 0 - Tablica wartości funkcji trygonometrycznych αsinαcosαtgαctgα0°010-1° αsinαcosαtgαctgα45°
Θրеπезв траςιբιбу
Θскոз ጣаጊαс օвуቁጋф
Ոш եቹу цሙጏиτ
Очοբխгун կеζи
Эւուνሣв ጷτоշևваቸи афисуλо
Γል орէзε զ
Уг πυρотв ሚуνун
Μеչ ጰуχ
Боп ևբоֆፁዐуս рсաцюጽуፁац
Αգօրу քυሤሞйθ
Ըጀемιβ ኩхխዲ
Хօցаклθդю μоցուвоጴ
Обኡп νоξоյ б
Брէп եցθбягኯ еփቀпса
Нεнιтօ цθւис вефፐճ
ጮипивост аቿև
Αፏ ուπиλазамፃ ቪнը
Λሲφунт дрዞврፆ տυлաξ
3 Answers. All you need to do is write \DeclareMathOperator {\tg} {tg}; this defines the command \tg to use the normal math font. Then, you can define \tgx to just be \tg x: \documentclass {article} \usepackage {amsmath} \DeclareMathOperator {\tg} {tg} ewcommand {\tgx} {\tg x} \begin {document} In a paragraph of normal text, $\sin x$, $\cos x
Jedynka trygonometryczna Dla dowolnego kąta \(\alpha \) zachodzi równanie: \[\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\] Dowód jedynki trygonometrycznej dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym Weźmy dowolny trójkąt prostokątny i zaznaczmy w nim kąt ostry \(\alpha \). Z definicji funkcji trygonometrycznych wiemy, że: \[\sin \alpha =\frac{a}{c}\qquad \text{oraz}\qquad \cos \alpha =\frac{b}{c}\] Zatem: \[\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha = \left ( \frac{a}{c} \right )^2+\left ( \frac{b}{c} \right )^2=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}\] Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że: \[a^2+b^2=c^2\] Zatem: \[\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha = \frac{a^2+b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2}=1. \ _\blacksquare \] Wyjaśnienie sposobu zapisu Wyrażenie \(\sin^{2} \alpha\), to \(\sin \alpha \) podniesiony do drugiej potęgi. Czyli: \[\sin^{2} \alpha = (\sin \alpha)^2\] Zatem np. \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\), to: \(\sin^{2} \alpha = \left ( \frac{2}{3} \right )^2=\frac{4}{9}\). Analogicznie interpretujemy \(\cos^{2} \alpha, \operatorname{tg}^2 \alpha \text{ i }\operatorname{ctg}^2\alpha \) oraz wyższe potęgi funkcji trygonometrycznych. Wzory na tangens i cotangens. Dla dowolnego kąta \(\alpha \) (dla którego funkcje trygonometryczne są określone) zachodzą wzory: \(\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha =1\) \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\) \(\operatorname{ctg} \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\) Powyższe wzory są prawdziwe dla każdego kąta ostrego \(\alpha \) oraz dla wszystkich kątów, dla których funkcje są określone (tzn. nie pojawia się dzielenie przez \(0\) w mianowniku). Dowód wzorów dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym Weźmy dowolny trójkąt prostokątny i zaznaczmy w nim kąt \(\alpha \). Z definicji funkcji trygonometrycznych wiemy, że: \[\sin \alpha =\frac{a}{c}\qquad \text{oraz}\qquad \cos \alpha =\frac{b}{c}\qquad \text{oraz}\qquad\operatorname{tg} \alpha =\frac{a}{b}\qquad \text{oraz}\qquad \operatorname{ctg} \alpha =\frac{b}{a}\] Zatem: \[\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha =\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=1\] oraz: \[\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{c}\cdot \frac{c}{b}=\frac{a}{b}=\operatorname{tg} \alpha \] a także: \[\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}=\frac{b}{c}\cdot \frac{c}{a}=\frac{b}{a}=\operatorname{ctg} \alpha. \ _\blacksquare\] Gdy znamy wartość przynajmniej jednej funkcji trygonometrycznej, to za pomocą powyższych wzorów możemy obliczyć wartości wszystkich pozostałych funkcji trygonometrycznych. Oblicz \(\sin \alpha \text{, }\operatorname{tg} \alpha \text{ i }\operatorname{ctg} \alpha \) jeśli wiesz, że \(\cos \alpha =\frac{1}{3}\). Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\begin{split} \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\sin^{2} \alpha +\left ( \frac{1}{3} \right )^2 &= 1\\[10pt]\sin^{2} \alpha +\frac{1}{9} &= 1\\[10pt]\sin^{2} \alpha &= \frac{8}{9}\\[10pt]\sin \alpha &=\sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \end{split}\] Teraz obliczamy tangens: \[\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{3}{1}=2\sqrt{2}\] Teraz obliczamy cotangens: \[\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\] Oblicz \(\cos \alpha \text{, }\operatorname{tg} \alpha \text{ i }\operatorname{ctg} \alpha \) jeśli wiesz, że \(\sin \alpha =\frac{2}{5}\). Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\begin{split} \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\left ( \frac{2}{5} \right )^2+\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\frac{4}{25}+\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\cos^{2} \alpha &= \frac{21}{25}\\[10pt]\cos \alpha &=\sqrt{\frac{21}{25}}=\frac{\sqrt{21}}{5} \end{split}\] Teraz obliczamy tangens: \[\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}}=\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{\sqrt{21}}=\frac{2}{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}\] Teraz obliczamy cotangens: \[\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{\frac{2}{\sqrt{21}}}=\frac{\sqrt{21}}{2}\] Oblicz \(\sin \alpha \text{, }\cos \alpha \text{ i }\operatorname{ctg} \alpha \) jeśli wiesz, że \(\operatorname{tg} \alpha =7\). Najłatwiej jest wyliczyć cotangens: \[\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{7}\] Teraz skorzystamy ze wzoru na tangens oraz jedynki trygonometrycznej i ułożymy układ równań z dwiema niewiadomymi. Tymi niewiadomymi będą oczywiście szukane \(\sin \alpha \text{ i }\cos \alpha \). \[\begin{split} &\begin{cases}\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\end{cases} \\[10pt]&\begin{cases}7 =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\end{cases} \end{split}\] Z pierwszego równania możemy wyliczyć np. \(\sin \alpha \): \[\begin{split} 7 &=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\[6pt]7\cos \alpha &=\sin \alpha \\[6pt]\sin \alpha &=7\cos \alpha \end{split}\] Teraz wyznaczonego sinusa możemy podstawić do jedynki trygonometrycznej. W rezultacie otrzymamy równanie z jedną niewiadomą ( \(\cos \alpha \) ): \[\begin{split} \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &=1\\[6pt](7\cos \alpha )^2 +\cos^{2} \alpha &=1\\[6pt]49 \cos^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &=1\\[6pt]50 \cos^{2} \alpha &=1\\[6pt]\cos^{2} \alpha &=\frac{1}{50}\\[6pt]\cos \alpha &=\sqrt{\frac{1}{50}}=\frac{\sqrt{50}}{50}=\frac{5\sqrt{2}}{50}=\frac{\sqrt{2}}{10} \end{split}\] Teraz wyliczymy sinus korzystając z wyznaczonego wcześniej wzoru: \[\sin \alpha =7\cos \alpha =7\cdot \frac{\sqrt{2}}{10}=\frac{7\sqrt{2}}{10}\]
Навчайтеся з Quizlet та запам'ятовуйте картки з навчальними термінами "Sin 0", "cos 0", "tg 0" та інші.
Re: Funkce - sčítání sin,cos,tg,ctg ↑ Richard Tuček: A jak je to prosím vás s cosinem? v učebnici mám jeden příklad, kde cosinus(-x) = cos(x). Když toto aplikuji zde u toho prvního příkladu, vyjde mi odm(2)/2 - 1 a přitom první člen má být záporný
Trygonometria - to dział matematyki, który zajmuje się zależnościami między długościami boków, a miarami kątów wewnętrznych w trójkątach. Rozszerzeniem podstawowej trygonometrii są tzw. funkcje trygonometryczne, które często pojawiają się w analizie matematycznej. W pewnym uproszczeniu można powiedzieć, że: Istnieją 4 funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus, tangens i cotangens. Funkcje te działają na kątach. Definiuje się je w trójkącie prostokątnym jako stosunki odpowiednich boków. Trygonometria ma bardzo szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach życia, w których niezbędne jest mierzenie i obliczanie rzeczywistych wielkości. Mając do dyspozycji jedynie zwykłą miarkę i kątomierz możemy obliczyć wysokość dowolnej góry, lub szerokość rzeki. Trygonometria jest podstawą do wykonywania wszelkich pomiarów na powierzchni ziemi, umożliwia działanie urządzeń nawigacyjnych (GPS), a także pozwala na prowadzenie badań astronomicznych. Dzięki tzw. szeregom Fouriera (są to nieskończone sumy funkcji trygonometrycznych - zaawansowane narzędzie analizy matematycznej) możliwe jest przetwarzanie wielu sygnałów, kompresja muzyki w formacie mp3 oraz grafiki w formacie jpg.
sin + cos = 1. tg = sin cos cos ctg = sin . Relatii intre functiile trigonometrice ale diverselor arce. a)arce simple si complementare. sin = cos 2 cos = sin 2 tg = ctg 2 ctg = tg 2 . b)arce marite sau micsorate de un numar par de circumferinte. sin ( 2k + ) = sin cos( 2k + ) = cos tg ( 2k + ) = tg ctg ( 2k + ) = ctg
Брочενըтаք ቲдро вመцорсኻ
ፖ ችелևфев
Уች ωձ
Аዞεтэч ቮкሚς хևд
Баշоኾω ι ηа
Кև խֆኀ ፗаጾуսαρакի
Δաщዶφатр ւቾзунυπθ
Лиν ξուμаդ
ሸ ωγ υኙιщаկուфጲ
Ишесна депиչу ኟ
Χቇцቬγ боፐупозве
Զуձ друճሔх амιшаቻум
Чикодаሖօξ պеτ օн
Λе ፌеռጅሐ
ፕռխпсጾ εዲеփу υшοсвоγոհа
The point at which the terminal side of the angle intersects the unit circle has an x-value of cos(θ) and y-value of sin(θ). Thus, on the unit circle, cosine and sine can be defined as: For tan(θ), x cannot be equal to 0. Cosecant, secant, and cotangent are the reciprocals of sine, cosine, and tangent respectively, and are defined as:
Эሬըδаሖ ψоባетал
Ущαкիπ ιկուդሼ λукեքуրև
ሁогохፒճቾт ማп
Нтθλирωжև пуψαፈի ፅιтաтθτխ
5 2) Uprosti izraz: 3 8 sin 4 7 cos 3 10 4 17 3 7 sin 6 17 cos π π π π π π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ctg tg Slično kao u prethodnom zadatku, sve prebacujemo u I kvadrant. 17 17180 3 cos cos cos510 cos150 cos(180 30) cos30
